Полный вариант перевода в PDF

Версия от 14.03.2011.

Формализация фрагмента первой части “Этики” Спинозы

Введение

В этой статье мы формализовали фрагмент Первой части Этики Спинозы² в традиционной символике первопорядковой кванторной теории.

Формализованный фрагмент состоит из определений, аксиом, восьми первых теорем и Теоремы 11 (спинозовского варианта онтологического аргумента существования Бога).

Мы получаем формулируемые теоремы из аксиом и определений посредством натурального вывода . Спиноза не приводит списка правил вывода, аксиомы и определения играют одинаковую роль в его построениях (derivations).

Мы натолкнулись на две группы трудностей. Первую группу составляют трудности, относимые нами на счет Спинозы, вторую – связанные с исходной ограниченностью первопорядкового экстенсионального языка.

Две встреченных и преодоленных трудности первой группы – следующие. В Теореме 1 появляется слово "первее" (prior), хотя ни его самого, ни родственных ему терминов нет ни среди аксиом-определений, ни в выводе этой теоремы. В выводе Следствия (corollary) 6 (в [2] см. Теорема 6, подпункт "Другое доказательство"), являющегося леммой Теоремы 7, Спиноза ссылается на истину, которой он ни выводит, ни приводит среди аксиом-определений. Эту истину можно выразить: "Нечто познается через само себя е. и т.е. оно является своей собственной причиной". Мы преодолели эту и подобные ей трудности, добавив пять аксиом, которые назвали постулатами³.

Первая встреченная нами трудность второй группы состоит в использовании модальных и модализированных терминов, начиная с самого первого определения. Мы преодолели ее с помощью переформулировки (paraphrase) и использования параметров. Вторая трудность второй группы – аксиома 6 – спинозовская формулировка референциальной теории истины. Мы преодолели представленную аксиомой 6 трудность введением оператора истинности "þ"⁴ и представлением аксиомы 6 в виде первопорядковой схемы аксиом.

Джордж Буль думал использовать "Этику" для иллюстрации силы своей новой науки. Но он отчаялся, оставив нас с доказательствами в своем новом формализме только 6 и 7 теорем. Он писал:

Не часто встречается рассуждение, которое состояло бы в такой степени из игры терминами, определенными как эквивалентные. Я посвятил здесь несколько страниц их описанию больше из-за интереса к предмету разговора, чем из-за достоинств демонстрации, как бы высоко их некоторые не оценивали⁵.

Список обозначений

Элементарные обозначения

1. Axy – x атрибут (attributum) y;
2. Cxy – x – причина (causa) y;
3. Dxy – x зависит от y;
4. Ex – x вечен;
5. Exy – x – сущность y;
6. Fx – x конечен;
7. Hx – x абсолютно бесконечен;
8. Ixy – x содержится в y;
9. Kx – x конечен в своем роде (in suo genere finita);
10. Kxy – x и y имеют одну и ту же природу;
11. Lxy – x ограничивает y;
12. Mxy – x – модус (состояние) (mode) y;
13. Nx – x имеет необходимое существование;
14. Pxy – x первее y;
15. Qx – x свободен;
16. Sx – x – субстанция;
17. Txy – x – действие y;
18. Uxy – x знает (познает) y;
19. Wxyz – z – общее у x и y;
20. x=y – x равно y⁶.

Оператор

þA – истинно, что A

Правила вывода⁷

Определения

1. "Под причиною самого себя я разумею то, сущность чего заключает в себе существование, иными словами, то, чья природа может быть представляема не иначе: как существующею"⁸ – "Per causam sui intelligo id cujus essentia involvit existentiam sive id cujus natura non potest concipi nisi existens"⁹:

x(Cxx Nx).

2. "Конечною в своем роде называется такая вещь, которая может быть ограничена другой вещью той же природы. Так, например, тело называется конечным, потому что мы всегда представляем другое тело, еще большее. Точно так же мысль ограничивается другой мыслью. Но тело не ограничивается мыслью, и мысль не ограничивается телом" – "Ea res dicitur in suo genere finita quæ alia ejusdem naturæ terminari potest. Exempli gratia corpus dicitur finitum quia aliud semper majus concipimus. Sic cogitatio alia cogitatione terminatur. At corpus non terminatur cogitatione nec cogitatio corpore":

x(Kx y(Kxy & Lyx & ¬x=y)).

3. "Под субстанцией я разумею то, что существует само в себе и представляется само через себя, т.е. то, представление чего не нуждается в представлении другой вещи, из которой оно должно было бы образоваться" – "Per substantiam intelligo id quod in se est et per se concipitur hoc est id cujus conceptus non indiget conceptu alterius rei a quo formari debeat":

a. x(Sx Ixx),

b. x(Sx Dxx),

c. x(Sx ¬ y (Dxy & ¬y=x)).

4. "Под атрибутом я разумею то, что ум представляет в субстанции как составляющее ее сущность" – "Per attributum intelligo id quod intellectus de substantia percipit tanquam ejusdem essentiam constituens":

a. xy(Axy (Sy & Exy)),

b. xy(Sx Ayx).

5. "Под модусом я разумею состояние субстанции, иными словами, то, что существует в другом и представляется через другое" – "Per modum intelligo substantiæ affectiones sive id quod in alio est, per quod etiam concipitur":

xy(Mxy (Sy & Ixy & ¬x=y & Dxy)).

6. "Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное, т.е. субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность" – "Per Deum intelligo ens absolute infinitum hoc est substantiam constantem infinitis attributis quorum unumquodque æternam et infinitam essentiam exprimit":

x(Gx (Sx & Hx)).

7. "Свободной называется такая вещь, которая существует по одной только необходимости своей собственной природы и определяется к действию только сама собой. Необходимой же или, лучше сказать, принужденной называется такая, которая чем-либо иным определяется к существованию и действию по известному и определенному образу" – "Ea res libera dicitur quæ ex sola suæ naturæ necessitate existit et a se sola ad agendum determinatur. Necessaria autem vel potius coacta quæ ab alio determinatur ad existendum et operandum certa ac determinata ratione":

x(Qx (Nx & Cxx)).

8. "Под вечностью я понимаю самое существование, поскольку оно представляется необходимо вытекающим из простого определения вечной вещи" – "Per æternitatem intelligo ipsam existentiam quatenus ex sola rei æternæ definitione necessario sequi concipitur":

x(Ex Nx).

Аксиомы и схема аксиом

1. "Все, что существует, существует или само в себе, или в чем-то другом" – "Omnia quæ sunt vel in se vel in alio sunt":

x(Ixx y(¬x=y & Ixy)).

2. "Что не может быть представляемо через другое, должно быть представляемо само через себя" – "Id quod per aliud non potest concipi, per se concipi debet":

xy((¬x=y & ¬Dxy) Dxx).

3. "Из данной определенной причины необходимо вытекает действие, и наоборот, – если нет никакой определенной причины, невозможно, чтобы последовало действие" – "Ex data causa determinata necessario sequitur effectus et contra si nulla detur determinata causa, impossibile est ut effectus sequatur":

x(yCxy zTzx) & x(yTxy zCzx).

4. "Знание действия зависит от знания причины и заключает в себе последнее" – "Effectus cognitio a cognitione causæ dependet et eandem involvit":

xy(Cxy z(Uzy Uzx)).

5. "Вещи, не имеющие между собой ничего общего, не могут быть и познаваемы одна через другую; иыми словами - представление одной не заключает в себе представления другой" – "Quæ nihil commune cum se invicem habent, etiam per se invicem intelligi non possunt sive conceptus unius alterius conceptum non involvit":

xy(¬zWxyz (v(Uvx & ¬Uvy) & v(Uvy & ¬Uvx) & ¬Dxy & ¬Dyx)).

6. "Истинная идея должна быть согласна с своим объектом" – "Idea vera debet cum suo ideato convenire":

þA A.

7. "Сущность всего того, что может быть представляемо не существующим, не заключает в себе существования" – "Quicquid ut non existens potest concipi, ejus essentia non involvit existentiam":

x(Nx y(Eyx z(Azy u(z=u)))).

Постулаты

1. Если x и y различны и x зависит от y, то y первее x:

xy((¬x=y & Dxy) Pyx).

2. x зависит от самого себя е.т.е. x - причина самого себя:

x(Dxx Cxx).

3. x зависит от y или y зависит от x е.т.е. x и y имеют что-либо общее:

xy((Dxy Dyx) wWxyw).

4. Если u - сущность x и v - сущность y, то x=y е.т.е. u=v:

xyuv((Eux & Evy) (x=y u=v)).

5. Что-либо является свободным е.т.е. его ничто не ограничивает:

x(Qx ¬yLyx).

Теоремы¹⁰

Теорема I. "Субстанция по природе первее своих состояний" – "Substantia prior est natura suis affectionibus":

xy((Sx & Myx) Pxy).

Теорема II. "Две субстанции, имеющие различные атрибуты, не имеют между собой ничего общего" – "Duæ substantiæ diversa attributa habentes nihil inter se commune habent":

xy((Sx & Sy & zv(Azx & Avy & ¬z=v)) ¬wWxyw).

Теорема III. "Вещи, не имеющие между собой ничего общего, не могут быть причиной одна другой" – "Quæ res nihil commune inter se habent, earum una alterius causa esse non potest":

xy(¬zWxyz (¬Cxy & ¬Cyx)).

Теорема IV. "Две или более различные вещи различаются между собой или различием атрибутов субстанций, или различием их модусов (состояний)" – "Duæ aut plures res distinctæ vel inter se distinguuntur ex diversitate attributorum substantiarum vel ex diversitate earundem affectionum":

xy((Sx & Sy & ¬x=y) (z(Azx & ¬Azy) v(Mvx & ¬Mvy)).

Теорема V. "В природе вещей не может быть двух или более субстанций одной и той же природы, иными словами, с одним и тем же атрибутом" – "In rerum natura non possunt dari duæ aut plures substantiæ ejusdem naturæ sive attributi":

xy((Sx & Sy & ¬x=y) zWxyz).

Теорема VI. "Одна субстанция не может производиться другой субстанцией" – "Una substantia non potest produci ab alia substantia":

xy ((Sx & Sy & ¬x=y) ¬Cxy).

Теорема VII. "Природе субстанции присуще существование" – "Ad naturam substantiæ pertinet existere":

x(Sx Nx).

Теорема VIII. "Всякая субстанция необходимо бесконечна" – "Omnis substantia est necessario infinita":

x(Sx (¬Kx & ¬yLyx)).

Теорема XI. "Бог, или субстанция, состоящая из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность, необходимо существует" – "Deus sive substantia constans infinitis attributis quorum unumquodque æternam et infinitam essentiam exprimit, necessario existit":

x(Gx Nx).

Примечания переводчика

1. Перевод осуществлен по Blum A., Malinovich S. A Formalization of a Segment of Spinoza’s Ethics // Metalogicon. Rivista internazionale di logica pura e applicata, di linguistica e di filosofia. Anno VI - N.1 - Gennaio - Giugno 1993 (Metalogicon. An International Review of pure and applied Logic, of Linguistics and of Philosophy. Year VI - N.1 - Januari - July 1993), Napoli/Roma, L.E.R. Далее [Blum, Malinovich 1993].
2. У Спинозы есть несколько текстов, в которых изложение построено аксиоматически. Это: "Краткий трактат о Боге, человеке и его счастье" (Часть первая. Глава I. Часть вторая. Глава XXVI. Приложение), "Основы философии Декарта, доказанные геометрическим методом" и "Этика".
3. Аналогичная ситуация возникла у Гильберта при формализации геометрии Евклида и была решена аналогичным способом за счет введения дополнительных аксиом. См. Гильберт Д. Основания геометрии. М., Л., 1948.
4. В публикации, положенной в основу перевода, в качестве модального оператора истинности использовался значок перевернутого треугольника, что несколько неудобно для компьютерного набора. Обычно для оператора истинности используется буква T, но она уже занята авторами под предикатор "быть действием (проявлением)". Поэтому мы использовали для данного оператора исландскую букву thorn, входящую в набор дополнительных символов для HTML.
5. "Reasoning which consists so largely of a play upon terms defined as equivalent is not often met with; and it is rather on the account of the interest attaching to the subject, then of merits of the demonstration, higly as by some they are esteemed, that I have devoted a few pages here to their exposition". Цитата по: [Blum, Malinovich 1993] с ссылкой на Boole G. An investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. N. Y. Dover Publications, no date, p. 216.
6. Хотя у авторов знак равенства не входит в список обозначений, но многократно используется, и поэтому введен нами в список.
7. У авторов доказательства теорем осуществляется в системе субординатного натурального вывода типа Яськовского-Фиттинга. На русском языке описание подобной системы можно найти в: Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. М., 1994. С. 116-137.; их же: Введение в логику. М., 2008. С. 125-137, 200-207.
8. Русские цитаты из Спинозы приводятся по Спиноза Б. Избранные произведения. В 2-х томах. М., 1957. СПб., 1999.
9. Мной вставлены в текст латинские варианты формализуемых положений, которые приводятся по: Spinoza. Ethica ordine geometrico demonstrata et in quinque partes distincta // The Latin Library [Электронный ресурс]: http://www.thelatinlibrary.com/spinoza.html. Part I (URL): http://www.thelatinlibrary.com/spinoza.ethica1.html.
10. В HTML-варианте мы не приводим самих доказательств. Полный вариант перевода в pdf можно скачать здесь.