Справочник по формальным реконструкциям силлогистических учений

Реконструкции силлогистики Аристотеля и близкие системы

(в процессе написания)

I. Аристотелевская силлогистика

Аристотель был первым, кто создал логику вообще и, в частности: силлогистику, модальную логику; первым стал применять параметры (заменять конкретные термины на буквенные обозначения) и, следовательно, в явном виде указывать то, что сегодня называется логической формой; описал отношение между высказываниями, которое сегодня называетися классическим логическим следованием.

Основная работа Аристотеля, посвященная силлогистике – “Первая аналитика”. В ней он описывает систему модальной силлогистики с простыми общими терминами (так называемая, чистая позитивная модальная силлогистика). Теория силлогистических выводов с негативными и сингулярными (единичными) терминами была развита его учениками (в частности, Теофрастом и Эвдемом Родосским).

Постепенно под названием “аристотелевская логика” сформировалось логическое учение, в котором (в силлогистической части) признавалось:

1. законы “логического квадрата”,
2. аристотелевские правильные модусы (для четырех фигур),
3. законы силлогистического тождества,
4. законы обращения, превращения и противопоставления,
5. а с высказываниями, содержащими единичные термины в качестве субъекта, можно было работать как с общими высказываниями.

В Новое время шла критика этой “аристотелевской” логики как неадекватной; в первую очередь, с точки зрения таких интерпретаций атрибутивных высказываний, при которых часть “аристотелевских” законов опровергалась. Но само отождествление этой логики с логикой Аристотеля до Лукасевича, вроде бы (на протяжении Нового времени), не ставилось под сомнение.

II. Попытка реконструкции силлогистики Аристотеля Я. Лукасевичем

Лукасевич, видимо, первым стал различать аристотелевскую логику (в смысле, логику Аристотеля) и традиционную. В книге “Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики” Лукасевич указывает на ряд несоответствий между “аристотелевской” (= традиционной) силлогистикой и силлогистикой Аристотеля:

1. отсутствие у Аристотеля негативных терминов,
2. отсутствие сингулярных терминов,
3. отсутствие четвертой фигуры (о чем, безусловно, было известно и раньше),
4. формулировка модусов и силлогизмов не в виде правил вывода, а в виде утверждений (на дедуктивную силу теории это, разумеется, не влияет),
5. формулировка Аристотелем именно модальной теории.

Лукасевич сформулировал ряд формальных теорий, реконструирующих разные аспекты его понимания силлогистики Аристотеля. За теорией, реконструирующей немодальный фрагмент силлогистики с простыми общими термами, в рамках Московской силлогистической школы (благодаря В.А. Смирнову) закрепилось название С4. В этой силлогистике, помимо законов логического квадрата, обращения и аристотелевских модусов, доказываются и законы силлогистического тождества.

Этот пункт силлогистики Лукасевича подвергся критике еще в рамках Львовско-Варшавской школы. Ученик Лукасевича – Е. Слупецкий – предложил формальную теорию, в которой доказываются все законы логического квадрата, обращение и правильные модусы Аристотеля, но не доказываются законы силлогистического тождества. (Видимо, это минимальная теория, обладающая такими свойствами, хотя доказательство такой минимальности мне не известно.) В дальнейшем, теории, находящиеся между силлогистикой Слупецкого и силлогистикой Лукасевича, получили название аристотелевских. В рамках Московской силлогистической школы (опять же, через В.А. Смирнова) за силлогистикой Слупецкого закрепилось обозначение С1. Собствено, сама “силлогистика” Слупецкого вряд ли может претендовать на адекватную реконструкцию силлогистики Аристотеля, и даже на название силлогистики, поскольку (как было показано Л.И. Мчедлишвили) не имеет теоретико-множественной семантики стандартного типа (об стандартных экстенсиональных семантиках будет сказано ниже).

III. Тезис Смирнова-Бочарова

В.А. Смирнов также поставил под сомнение адекватность силлогистики Лукасевича как реконструкции силлогистических идей Аристотеля (речь идет о чистом позитивном фрагменте). По его мнению, эта часть силлогистики Аристотеля наиболее адекватно была выражена Уильямом Оккамом, в интерпретации которого истинность общеутвердительного высказывания подразумевает непустоту субъекта. Эта концепция силлогистики была формализована Смирновым под именем С2. Историко-логического обоснования такой интерпретации в опубликованных работах Смирнова мне не встречалось, но достаточно подробный анализ этого мнения был сделан В.А. Бочаровым в книге “Аристотель и традиционная силлогистика” (1984 г.). В целом, расхождение Смирнова и Бочарова с Лукасевичем в интерпретации чистой позитивной силлогистики Аристотеля можно выразить следующим образом.

Автор настоящей статьи в целом принимает тезис Смирнова-Бочарова, но считает, что на данном этапе необходим более глубокий анеализ и обоснование данного вопроса в рамках историко-философских (возможно даже, филологических), а не логико-математических исследований.

IV. Реконструкции аристотелевских идей сингулярной и негативной силлогистики

Силлогистические выводы из высказываний с сингулярными или негативными терминами не были описаны Аристотелем в систематическом виде. Реконструкция этих идей была предпринята В.И. Маркиным, который предложил несколько реконструкций идей позитивной и негативной сингулярной силлогистики собственно Аристотеля, и ряд сингулярных силолгистик, построенных на других ч.п.ф. Поскольку Маркиным принимается тезис Смирнова-Бочарова, то его реконструкции строились как расширения теории С2.

В рамках традиционной силлогистики с сингулярными высказываниями можно работать как с общими, такой подход В.И. Маркин называет оккамовским. При формальной реконструкции такого подхода, по мнению Маркина, для образовния сингулярных атрибутивных высказываний можно использовать общие связки (“a” и “e”).

По мнению Маркина, этот подход не соответствует аристотелевским идеям сингулярных силлогистических выводов. На его взгляд, реконструируя аристотелевские идеи сингулярной силлогистики, мы должны для образовния сингулярных атрибутивных высказываний использовать другие, единичные связки. Такой подход Маркин называет аристотелевским.

Различение двух подходов к построению сингулярных силлогистик и мнение, что второй подход более соотвкетствует взглядам Аристотеля, буду называть тезисом Маркина. В связи с ним, на мой взгляд, можно высказать следующие соображения.

• С точки зрения языка, т.е. если рассматривать формальную запись как результат замещения символами тех или иных выражений “естественного” языка, введение отдельных сингулярных связок вполне оправданно, поскольку в единичных атрибутивных высказываниях фигурируют связки “есть” и “не есть”, а не связки “все ... есть” и “все ... не есть”.
• С точки зрения логики, необходимость введения особых единичных связок отнюдь не очевидна, поскольку логически и аристотелевский, и оккамовский подходы равно допустимы.
• С историко-логической точки зрения, жесткое различение Аристотелем общих и единичных высказываний, мне представляется также достаточно сомнительным. Сами термины Аристотель (в Первой аналитике) разделял на единичные, универсальные и промежуточные: “о которых что-то может сказываться, но которые сами не могут сказываться ни о чем другом”, “которые сами могут сказываться о чем-то другомо, но о которых ничто другое не может сказываться”, “о которых что-то может сказываться, и которые сами могут сказываться о чем-то другом”. И хотя основными терминами являются промежуточные, высказывания с другими видами терминов также не запрещены. Кроме того, в тех фрагментах Первой аналитики, где Аристотель приводит силлогизмы с единичными терминами, он оперирует с содержащими их высказываниями также как и с обычными “не сингулярными” посылками (проверить ссылки).

В книге “Силлогистические теории в современной логике” Маркиным были построены позитивные и негативные сингулярные силлогистики как “аристотелевского”, так и “оккамовского” типа.

В статье “Сингулярная негативная силлогистика Аристотеля и свободная логика” В.И. Маркиным были предложены другие формализации негативной сингулярной силлогистики Аристотеля, теории СА и СА⁺ (теория СА⁺ строится как расширение СА). (Кусок про мотивировку этих теорий). Как было показано мной в статье “Формально-историческое исследование нескольких групп формальных силлогистик”, теория СА⁺ является подтеорией НС2са, но при этом, позитивная сингулярная силлогистика С2са, являясь подтеорией НС2са, не является подтеорией СА⁺ (и, следовательно, СА).

Чистая негативная силлогистика, реализующая историко-логические идеи Маркина была построена А.А. Ильиным (см. теорию НАС). Как было показано мной все в той же статье “Формально-историческое исследование нескольких групп формальных силлогистик”, теория НАС является точным чистым негативным фрагментом теорий СА⁺, НС2са, НС2со (т.е. они различаются своими сингулярными фрагментами).

(Перепроверить соотношения по статье. Проверить цитаты из Аристотеля)

(Думаю, что вопрос об аристотелевских идеях сингулярных и негативных силлогистик также нуждается в дальнейших историко-философских, филологических и, возможно, логико-математических исследованиях.)

V. Подтеории С2.

VI. Алгебраические расширения теории С2

VII. Экстенсиональная и интенсиональная трактовки силлогистики

Все приведенные выше реконструкции подразумевали экстенсиональную семантику стандартного типа. В подобных семантиках общие термины трактуются как имена (обычно, параметры) множеств, а высказывания как утверждения о соотношении этих множеств по объему; аналогично, единичные термины трактуются как имена индивидных объектов, а высказывания с единичными терминами – либо как утверждение о совпадении/несовпадении двух индивидных объектов (если предикат тоже сингулярный термин), либо как утверждение о принадлежности/непринадлежности объекта (выраженного субъектом) множеству (выраженному общим термином в предикной позиции). Иными словами, при экстенсиональном понимании атрибутивных высказываний, силлогистики могут быть поняты как некие слабые теории множеств. Это, на мой взгляд, соответствует историческому процессу, который в Новое время пошел по пути становления и развития экстенсиональной трактовки силлогистики, ее математизации и привел в XIX в. возникновению теории множеств. Но само по себе принятие тезиса о силлогистических корнях (или одном корне, наряду с другими) теории множеств не приводит с необходимостью к мнению, что все логики от Аристотеля до Васильева принимали экстенсиональную трактовку силогистики. Проблемы с формальной реконструкцией силлогистики Аристотеля как раз состоят в отсутствии у Аристотеля явно высказанной семантики атрибутивных высказываний.

Другая трактовка силлогистики, также получившая развитие в Новое время, исходила из понимания терминов как понятий (знаков понятий), а атрибутивных высказываний – как высказываний о соотношении понятий по содержанию (по множеству признаков, на основании которых данное понятие выделяет некоторый класс предметов). Такое понимание силлогистики получило название интенсиональной трактовки.

Попытка формализации интенсионального понимания различных силллогистик была предпринята В.И. Маркиным. В частности, им предложена формализация силлогистики Аристотеля с простыми общими терминами ИС2. ИС2 является строгой собственной подтеорией С2.

VIII. Теории, реализующие отдельные аристотелевские идеи

IX. О не адекватных реконструкциях

Существует ряд формальных теорий, которые могут быть названы реконструкциями силлогистических идей Аристотеля только условно. Например, “реконструкции” Ферриса (The Journal of the Symbolic Logic. 1957, №1 / в оригинале: Simbolic) и Жергона.

X.

“” “” “” “” “” “”

© Тарас А. Шиян.

Последняя правка:
16 апреля 2008.