Полный вариант перевода в PDF или в ZIP-архиве

Формализация франмента первой части “Этики” Спинозы

Введение

В этой статье мы формализовали фрагмент Первой части Этики Спинозы² в традиционной символике первопорядковой кванторной теории .

Формализованный фрагмент состоит из определений, аксиом, восьми первых теорем и Теоремы 11 (спинозовского варианта онтологического аргумента существования Бога).

Мы получаем формулируемые теоремы из аксиом и определений посредством натурального вывода . Спиноза не приводит списка правил вывода, аксиомы и определения играют одинаковую роль в его построениях (derivations).

Мы натолкнулись на две группы трудностей. Первую группу составляют трудности, относимые нами на счет Спинозы, вторую – связанные с исходной ограниченностью первопорядкового экстенсионального языка.

Две встреченных и преодоленных трудности первой группы – следующие. В Теореме 1 появляется слово "первее" (prior), хотя ни его самого, ни родственных ему терминов нет ни среди аксиом-определений, ни в выводе этой теоремы. В выводе Следствия (corollary) 6 (в [2] см. Теорема 6, подпункт "Другое доказательство"), являющегося леммой Теоремы 7, Спиноза ссылается на истину, которой он ни выводит, ни приводит среди аксиом-определений. Эту истину можно выразить: "Нечто познается через само себя е. и т.е. оно является своей собственной причиной". Мы преодолели эту и подобные ей трудности, добавив пять аксиом, которые назвали постулатами³.

Первая встреченная нами трудность второй группы состоит в использовании модальных и модализированных терминов, начиная с самого первого определения. Мы преодолели ее с помощью переформулировки (paraphrase) и использования параметров. Вторая трудность второй группы – аксиома 6 – спинозовская формулировка референциальной теории истины. Мы преодолели представленную аксиомой 6 трудность введением оператора истинности "þ"⁴ и представлением аксиомы 6 в виде первопорядковой схемы аксиом.

Джордж Буль думал использовать "Этику" для иллюстрации силы своей новой науки. Но он отчаялся, оставив нас с доказательствами в своем новом формализме только 6 и 7 теорем. Он писал:

Не часто встречается рассуждение, которое состояло бы в такой степени из игры терминами, определенными как эквивалентные. Я посвятил здесь несколько страниц их описанию больше из-за интереса к предмету разговора, чем из-за достоинств демонстрации, как бы высоко их некоторые не оценивали⁵.

Список обозначений

Элементарные обозначения

1. Axy – x атрибут (attributum) y;
2. Cxy – x – причина (causa) y;
3. Dxy – x зависит от y;
4. Ex – x вечен;
5. Exy – x – сущность y;
6. Fx – x конечен;
7. Hx – x абсолютно бесконечен;
8. Ixy – x содержится в y;
9. Kx – x конечен в своем роде (in suo genere finita);
10. Kxy – x и y имеют одну и ту же природу;
11. Lxy – x ограничивает y;
12. Mxy – x – модус (состояние) (mode) y;
13. Nx – x имеет необходимое существование;
14. Pxy – x первее y;
15. Qx – x свободен;
16. Sx – x – субстанция;
17. Txy – x – действие y;
18. Uxy – x знает (познает) y;
19. Wxyz – z – общее у x и y;
20. x=y – x равно y⁶.

Оператор

þA – истинно, что A

Правила вывода⁷

Определения

1. "Под причиною самого себя я разумею то, сущность чего заключает в себе существование, иными словами, то, чья природа может быть представляема не иначе: как существующею"⁸ – "Per causam sui intelligo id, cujus essentia involvit existentiam; sive id, cujus natura non potest concipi nisi existens"⁹.

x(Cxx Nx)

2. "Конечною в своем роде называется такая вещь, которая может быть ограничена другой вещью той же природы. Так, например, тело называется конечным, потому что мы всегда представляем другое тело, еще большее. Точно так же мысль ограничивается другой мыслью. Но тело не ограничивается мыслью, и мысль не ограничивается телом" – "Ea res dicitur in suo genere finita, quae alia ejusdem narurae terminari potest. Ex. gr. corpus dicitur finitum, quia aliud semper majus concipimus. Sic cogitatio alia cogitatione terminatur. At corpus non terminatur cogitatine, nec cogitatio corpore".

x(Kx y(Kxy & Lyx & ¬x=y))

3. "Под субстанцией я разумею то, что существует само в себе и представляется само через себя, т.е. то, представление чего не нуждается в представлении другой вещи, из которой оно должно было бы образоваться" – "Per substantiam intelligo id, quod in se est, et per se concipitur: hoc est id, cujus conceptus non indiget conceptu alterius rei, a quo formari debeat".

a. x(Sx Ixx)

b. x(Sx Dxx)

c. x(Sx ¬ y (Dxy & ¬y=x))

4. "Под атрибутом я разумею то, что ум представляет в субстанции как составляющее ее сущность" – "Per attributum intelligo id, quod intellectus de substantia percipit, tanquam ejusdem essentiam constituens".

a. xy(Axy (Sy & Exy))

b. xy(Sx Ayx)

5. "Под модусом я разумею состояние субстанции, иными словами, то, что существует в другом и представляется через другое" – "Per modum intelligo substantiae affectiones, sive id, quod in alio est, per quod etiam concipitur".

xy(Mxy (Sy & Ixy & ¬x=y & Dxy))

6. "Под Богом я разумею существо абсолютно бесконечное, т.е. субстанцию, состоящую из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность" – "Per Deum intelligo ens absolute infinum, hoc est, substantiam constantem infinitis attributus, quorum unumquodque aeter-nam, et infinitam essentiam exprimit".

x(Gx (Sx & Hx))

7. "Свободной называется такая вещь, которая существует по одной только необходимости своей собственной природы и определяется к действию только сама собой. Необходимой же или, лучше сказать, принужденной называется такая, которая чем-либо иным определяется к существованию и действию по известному и определенному образу".

x(Qx (Nx & Cxx))

8. "Под вечностью я понимаю самое существование, поскольку оно представляется необходимо вытекающим из простого определения вечной вещи".

x(Ex Nx)

Аксиомы и схема аксиом

1. "Все, что существует, существует или само в себе, или в чем-то другом".

x(Ixx y(¬x=y & Ixy))

2. "Что не может быть представляемо через другое, должно быть представляемо само через себя".

xy((¬x=y & ¬Dxy) Dxx)

3. "Из данной определенной причины необходимо вытекает действие, и наоборот, – если нет никакой определенной причины, невозможно, чтобы последовало действие".

x(yCxy zTzx) & x(yTxy zCzx)

4. "Знание действия зависит от знания причины и заключает в себе последнее".

xy(Cxy z(Uzy Uzx))

5. "Вещи, не имеющие между собой ничего общего, не могут быть и познаваемы одна через другую; иыми словами - представление одной не заключает в себе представления другой".

xy(¬zWxyz (v(Uvx & ¬Uvy) & v(Uvy & ¬Uvx) & ¬Dxy & ¬Dyx))

6. "Истинная идея должна быть согласна с своим объектом" – "Idea vera debet cum suo ideato convenire".

þA A

7. "Сущность всего того, что может быть представляемо не существующим, не заключает в себе существования".

x(Nx y(Eyx z(Azy u(z=u))))

Постулаты

1. Если x и y различны и x зависит от y, то y первее x.

xy((¬x=y & Dxy) Pyx)

2. x зависит от самого себя е.т.е. x - причина самого себя.

x(Dxx Cxx)

3. x зависит от y или y зависит от x е.т.е. x и y имеют что-либо общее.

xy((Dxy Dyx) wWxyw)

4. Если u - сущность x и v - сущность y, то x=y е.т.е. u=v.

xyuv((Eux & Evy) (x=y u=v))

5. Что-либо является свободным е.т.е. его ничто не ограничивает.

x(Qx ¬yLyx)

Теоремы¹⁰

Теорема I. xy((Sx & Myx) Pxy) "Субстанция по природе первее своих состояний".

Теорема II. xy((Sx & Sy & zv(Azx & Avy & ¬z=v)) ¬wWxyw) "Две субстанции, имеющие различные атрибуты, не имеют между собой ничего общего".

Теорема III. xy(¬zWxyz (¬Cxy & ¬Cyx)) "Вещи, не имеющие между собой ничего общего, не могут быть причиной одна другой".

Теорема IV. xy((Sx & Sy & ¬x=y) (z(Azx & ¬Azy) v(Mvx & ¬Mvy)) "Две или более различные вещи различаются между собой или различием атрибутов субстанций, или различием их модусов (состояний)".

Теорема V. xy((Sx & Sy & ¬x=y) zWxyz) "В природе вещей не может быть двух или более субстанций одной и той же природы, иными словами, с одним и тем же атрибутом".

Теорема VI. xy ((Sx & Sy & ¬x=y) ¬Cxy) "Одна субстанция не может производиться другой субстанцией".

Теорема VII. x(Sx Nx) "Природе субстанции присуще существование".

Теорема VIII. x(Sx (¬Kx & ¬yLyx)) "Всякая субстанция необходимо бесконечна".

Теорема XI. x(Gx Nx) "Бог, или субстанция, состоящая из бесконечно многих атрибутов, из которых каждый выражает вечную и бесконечную сущность, необходимо существует".

Примечания переводчика

1. Перевод осуществлен по Blum A., Malinovich S. A Formalization of a Segment of Spinoza’s Ethics // Metalogicon. Rivista internazionale di logica pura e applicata, di linguistica e di filosofia. Anno VI - N.1 - Gennaio - Giugno 1993 (Metalogicon. An International Review of pure and applied Logic, of Linguistics and of Philosophy. Year VI - N.1 - Januari - July 1993), Napoli/Roma, L.E.R. Далее [Blum, Malinovich 1993].
2. У Спинозы есть несколько текстов, в которых изложение построено аксиоматически. Это: "Краткий трактат о Боге, человеке и его счастье" (Часть первая. Глава I. Часть вторая. Глава XXVI. Приложение), "Основы философии Декарта, доказанные геометрическим методом" и "Этика".
3. Аналогичная ситуация возникла у Гильберта при формализации геометрии Евклида и была решена аналогичным способом за счет введения дополнительных аксиом. См. Гильберт Д. Основания геометрии. М., Л., 1948.
4. В публикации, положенной в основу перевода, в качестве модального оператора истинности использовался значок перевернутого треугольника, что несколько неудобно для компьютерного набора. Обычно для оператора истинности используется буква T, но она уже занята авторами под предикатор "быть действием (проявлением)". Поэтому мы использовали для данного оператора исландскую букву thorn, входящую в набор дополнительных символов для HTML.
5. "Reasoning which consists so largely of a play upon terms defined as equivalent is not often met with; and it is rather on the account of the interest attaching to the subject, then of merits of the demonstration, higly as by some they are esteemed, that I have devoted a few pages here to their exposition". Цитата по [Blum, Malinovich 1993] с ссылкой на Boole G. An investigation of the Laws of Thought, on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities. N. Y. Dover Publications, no date, p. 216.
6. Хотя у авторов знак равенства не входит в список обозначений, но многократно используется, и поэтому введен нами в список.
7. У авторов доказательства теорем осуществляется в системе субординатного натурального вывода типа Яськовского-Фиттинга.
8. Русские цитаты из Спинозы приводятся по Спиноза Б. Избранные произведения. В 2-х томах. М., 1957. СПб., 1999.
9. В большинстве случаев мной вставлены в текст латинские варианты формализуемых положений, которые приводятся по Malatesta M. On the Inconsistency of Spinoza’s Metaphysics // Metalogicon. Rivista internazionale di logica pura e applicata, di linguistica e di filosofia. Anno VI - N.1 - Gennaio - Giugno 1993 (Metalogicon. An International Review of pure and applied Logic, of Linguistics and of Philosophy. Year VI - N.1 - Januari - July 1993), Napoli/Roma, L.E.R.
10. В HTML-варианте мы не приводим самих доказательств. Полный вариант перевода в pdf или его zip-архив можно скачать здесь.