Глоссарий

Взаимопогружаемость теорий
– теории T1 и T2 взаимопогружаемы T1 погружается в T2 и T2 погружается в T1.
Дедуктивная сила
– T1 меньше T2 по дедуктивной силе T1 T2.
Дефинициальная выразимость теории
– Теория T1 дефинициально выразима (дефинициально вложима) в T2 существует дефинициальное расширение T2, являющееся консервативным расширением T1.
Дефинициальная эквивалентность теорий
– теории T1 и T2 дефинициально эквивалентны T1 дефинициально расширяема до T2 и T2 дефинициально расширяема до T1.
– теории T1 и T2 дефинициально эквивалентны T1 дефинициально выразима в T2 и T2 дефинициально выразима в T1.
– теории T1 и T2 дефинициально эквивалентны существует теория, являющаяся консервативным дефинициальным расширением T1 и T2.
Дефинициальная вложимость теории
– см. дефинициальная выразимость.
Дефинициальное расширение теории
– теория T2, получающаяся из T1 расширением языка и присоединением некоторого множества определений для новых выражений расширенного языка.
– теория T2 – дефинициальное расширение T1 существует теория T3, являющаяся языковым расширением T1 на Язык(T2), и D – множество определений знаков Алфавит(T2)\Алфавит(T1) через знаки Алфавит(T1) такие, что T2=Cn(T3+D).
Диаграмма Хассе
– способ визуального представления упорядоченных множеств в виде направленного графа. Вершины графа представляют элементы данного множества, связи проводятся только между ближайшими (относительно данного порядка) вершинами. Пути из вершины в саму себя также не изображаются. Часто (в т.ч. в нашей системе) направление связей не отмечается и подразумевается, что они направлены снизу вверх (в нашей системе) или слева направо.
Строгий частичный порядок восстанавливается транзитивным замыканием своей диаграммы Хассе, нестрогий – транзитивным замыканием c добавлением диагонального отношения.
Дополнение к формальной теории
– пусть Cn – некоторое дедуктивное замыкание, заданное на множестве формул L и LCn – множество всех замкнутых относительно Cn множеств формул L, тогда операция дополнения в топрологической системе <LCn, > определяется следующим образом.
T* = AєT Cn(¬A).
Квазипорядок
– см. предпорядок.
Кванторная теория
– теория в языке с кванторами и квантифицируемыми переменными.
Конечно-аксиоматизируемая теория (при данном дедуктивном замыкании)
– формальная теория, которая может быть определена как дедуктивное замыкание конечного множества ППФ.
Консервативное расширение теории
– теория T2 является консервативным расширением T1 (T1T2), Язык(T1)Язык(T2) и T1=(T2Язык(T1)). При этом T1 является точным фрагментом (см.) теории T2 в Язык(T1).
Модальная теория
– теория в языке с модальными операторами.
Негативная силлогистика
– силлогистическая теория в языке с функтором отрицания.
Независимость теорий
– теории T1 и T2 независимы (T1T2)=Ø.
Нестрогий частичный порядок
– бинарное отношение называется отношением нестрогого частичного порядка оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Бескванторный выриант описывается теорией Ord из БД.
Несущественное расширение теории
– T2 несущественное расширение T1 Язык(T1)Язык(T2) и существует рекурсивная функция µ из Язык(T2) в Язык(T1) такая, что для всякой формулы A Язык(T1) верно, что µ(A)=A, и T2 консервативное расширение T1 и T2 рекурсивно определяется в T1.
Нижняя полурешетка с нулем
бескванторный выриант описывается теорией D1L из БД.
Обобщенная силлогистика
– силлогистическая теория в языке с предикатами, характеризующими объемы терминов по свойству универсальности.
Оператор замыкания
– понятие дедуктивно замкнутого множества задать через отношение выводимости: Cn(X)={A / X|–A}, или чрез отношение логического следования: Cn(X)={A / X|=A}, но обычно понятие замкнутого множества определяется топологически, через оператор дедуктивного замыкания, который является частным случаем топологического замыкания. Оператор Cn, заданный на множестве всех подмножеств некоторого множества, является оператором (топологического) замыкания
1. XCn(X);
2. Cn(Cn(X)) = Cn(X);
3. XY => Cn(X)Cn(Y).
Для оператора замыкания имеет место теорема Биркгофа-Тарского (см.).
Относительная непротиворечивость теорий
– теория T1 непротиворечива относительно T2 из непротиворечивости T2 следует непротиворечивость T1.
Пересечение
– множество формальных теорий (относительно некоторого дедуктивного замыкания) замкнуто относительно пересечения, т.е. пересечение двух формальных теорий есть формальная теория. В частности, пересечение двух конечно-аксиоматизируемых теорий есть конечно-аксиоматизируемая теория. Пересечение двух формальных языков есть формальный язык. Пересечение теории T и языка L есть точный фрагмент теории T в языке L.
Погружаемость одной теории в другую
– рекурсивная функция µ из языка T1 в язык T2 погружает теорию T1 в T2 для всякой формулы A языка T1 верно, что (Т1|–A Т2|– µ(A)).
Подтеория
– теория T1 называется подтеорией T2 (T1T2).
Позитивная силлогистика
– силлогистическая теория в языке без функтора отрицания.
ППФ
– правильно построенная формула.
ППТ
– правильно построенный терм.
Погружаемое расширение теории
– T2 погружаемое расширение T1 Язык(T1)Язык(T2) и существует рекурсивная функция µ из Язык(T2) в Язык(T1) такая, что для всякой формулы A языка T1 верно, что µ(A)=A, и (|–T2 A |–T1 µ(A)).
Предикатная теория
– теория в языке с предикаторами.
Предпорядок (квазипорядок)
– бинарное отношение называется отношением предпорядка (квазипорядка) оно симметрично и транзитивно. Бескванторный выриант описывается теорией POrd из БД.
Произведение бинарных отношений
– R1• R2 = {<x, y> / существует z такое, что (<x, z>єR1 & <z, y>єR2)}.
Пропозициональная теория
– теория в языке с пропозициональными символами.
Равенство
– отношение равенства является разновидностью отношения эквивалентности, бескванторный выриант описывается теорией E1 из БД.
Равнонепротиворечивость теорий
– теории T1 и T2 равнонепротиворечивы T1 непротиворечива относительно T2 и T2 непротиворечива относительно T1.
Можно сформулировать следующие критерии относительной непротиворечивости.
Расширение теории
– теоряи T2 называется расширением T1 (T1T2).
Расширенная силлогистика
– силлогистическая теория, в языке которой имеются сложные термы (помимо отрицания).
Рекурсивная вложимость теории
– T1 рекурсивно вложима в T2 е.т.е. существуют функции µ1и µ2такие, что
1. |–T1 A => |–T2 µ1(A);
2. |–T2 A => |–T1 µ2(A);
3. |–T1 A µ21(A)).
Рекурсивная определимость теории
– T2 рекурсивно определяется в T1 Язык(T1)Язык(T2) и существует рекурсивная функция µ из Язык(T2) в Язык(T1) такая, что для всякой формулы A Язык(T1) верно, что µ(A)=A, и |– T2 (A µ(A)).
Рекурсивная эквивалентность теорий
– T1 и T2 рекурсивно эквивалентны T1 рекурсивно вложима в T2 и T2 рекурсивно вложима в T1.
Сигнулярная силлогистика
– силлогистическая теория, в языке которой имеются сингулярные (единичные, индивидные) термы, либо предикаторы, позволяющие выразить единичность объема терма. Выделяют сигнулярные силлогистики аристотелевского типа, сигнулярние силлогистики оккамовского типа и сигнулярние силлогистики лесневскианского типа.
Сигнулярная силлогистика аристотелевского типа
– сингулярная силлогистика, в которой сингулярные термины могут стоять только в позиции субъекта в высказываниях со специальными сингулярноыми связками.
Сигнулярная силлогистика лесневскианского типа
– сингулярная силлогистика со связкой Лесневского, сингулярные термины могут не выделяться в отдельную группу.
Сигнулярная силлогистика оккамовского типа
– сингулярная силлогистика, в которой сингулярные термины могут стоять в любой позиции (субъекта или предиката) и не и требуют специальных сингулярных связок.
Силлогистика васильевского типа
– силлогистика, в которой частные высказывания понимаются в строгом смысле: "Некоторые и только некоторые S есть P". Обычно для этой связки используется значок "t", но можно и формулировать с "i".
Силлогистики аристотелевского типа
– в русскоязычной литературе этим термином называют формальные теории, являющиеся расширениями силлогистики Слупецкого (включая ее) и при этом (как правило, подразумевается) подтеориями силлогистики Лукасевича.
Собственное расширение теории
– T2 собственное расширение T1 (T1T2) и L(T1)=L(T2).
Совместимость теорий
– теории T1 и T2 совместимы Cn(T1T2) - синтаксически непротиворечивая теория.
Степень бинарного отношения
R1=R;
Rn+1=Rn•R.
(См. также произведение бинарного отношения.)
Строгий частичный порядок
– бинарное отношение называется отношением строгого частичного порядка оно антирефлексивно, транзитивно и асимметрично.
Теорема Биркгофа-Тарского.
– Если X - некоторое множество, на множестве всех подмножеств X задан оператор замыкания Cn и XCn – множество всех замкнутых относительно Cn подмножеств X, то множество <XCn, > является решеткой с нулем и единицей по отношению включения.
Топологическое объединение множеств (объединение с замыканием)
– пусть Cn – некоторое замыкание, X1и X2 – замкнутые относительно Cn множества и XCn – множество всех замкнутых относительно Cn множеств, тогда операция объединения в топрологической системе <XCn, > определяется следующим образом.
X1+X2 = Cn(X1X2).
Точный фрагмент теории T в языке L
– TL.
Транзитивное замыкание бинарного отношения R
– Tr(R)=i=1 Ri.
Если рассматривать множества связей графа как бинарное отношение, то его транзитивное замыкание получаем как объединение степеней этого отношения от 1 до бесконечности. Если граф имеет конечное число вершин n (а в БД именно такие графы), то его транзитивное замыкание получаем объединением не более чем первых (n-1) степеней. (См. определение степени и произведения бинарных отношений.)
Формальная теория
– множество формул некоторого формального языка, замкнутое относительно некоторого множества дедуктивных функций (правил вывода). То есть, некоторое множество ППФ языка L является формальной теорией не само по себе, а относительно некоторого дедуктивного замыкания. В принципе, правила вывода могут быть любыми, например, если единственное правило вывода A |– A, то любое подмножество языка L относительно такого замыкания будет формальной теорией. Обычно в качестве минимального требования выдвигают замкнутость относительно тех или иних правил подстановки. И, как правило, требуют также замкнутости относительно modus ponens.
– множество формул X является формальной теорией относительно множества функций O (операций над формулами языка L) X замкнуто относительно функций из O (функции из O являются операциями на X).
– множество формул X является формальной теорией относительно отношения выводимости |– для всякой формулы A (X |– A AєX).
– множество формул X является формальной теорией относительно отношения логического следования |= для всякой формулы A (X |= A AєX). Для первопорядковых теорий определения замыканий через |– и |= эквивалентны, для второпорядковых теорий замыкания относительно |– и |= - разные понятия.
– множество формул X является формальной теорией относительно оператора дедуктивного замыкания Cn Cn(X) = X.
Формальный язык
– в рамках нашего подхода отождествляется с множеством ППФ данного языка. И, следовательно, совпадает с противоречивой теорией в данном языке.
Функциональная несовместимость теорий относительно языка L
– если LЯзык(T1) и LЯзык(T2), то T1 и T2 функционально несовместимы относительно L существует формула A языка L такая, что T1|– A и T2|– ¬A, т.е. теории (T1L) и (T2L) не совместимы.
Функциональная сила теорий относительно языка L
– T1 функционально слабее T2 относительно языка L (LЯзык(T1) и LЯзык(T2)) для всякой формулы A языка L верно, что (T1|– A => T2|–A), но не наоборот, т.е. (T1L)(T2L).
Функциональная эквивалентность теорий относительно языка L
– T1 и T2 - функционально эквивалентны относительно языка L (LL(T1) и LL(T2)) для всякой формулы A языка L верно, что (T1|– A T2|– A), т.е. (T1L)=(T2L).
– T1 и T2 - функционально эквивалентны относительно языка L существует теория T3 в языке L такая, что T1 и T2 являются консервативными расширениями T3.
Частичный порядок
– с точки зрения описания, выделяют строгий (см.) и нестрогий порядок (см.); с точки зрения упорядочения объектов, оба порядка совпадают. Примерами частично упорядоченных множеств являются множества множеств, частично упорядоченные отношением включения. Поскольку все четыре основных типа объектов из нашей БД являются множествами, то любая группа объектов каждого типа является частично упорядоченным множеством. Частичные порядки организуют объекты в различные структуры, в. том числе деревья и решетки (см.).
Чистая силлогистика
– силлогистическая теория, в языке только с "общими" термами.
Эквивалентность
– бинарное отношение называется отношением эквивалентности оно симметрично, транзитивно и симметрично.
Языковое расширение теории
– если T1=Cn(T1), Cn' - расширение Cn на Язык(T2) и T2=Cn'(T2), то:
T2 – языковое расширение T1 Язык(T1)Язык(T2) и T2=Cn'(T1).

Составитель – Тарас А. Шиян